逻辑归纳

逻辑归纳——预印本

摘要我们提出了一个可计算的算法，在给定的形式语言中为每个逻辑语句分配概率，并随着时间的推移改进这些概率。例如，如果该语言是Peano算术语言，它将概率赋给所有算术语句，包括关于孪生素数猜想的声明、长时间运行的计算的输出以及它自己的概率。

我们展示了我们的算法，我们称之为逻辑电感器(1)只要模式能在多项式时间内被记录下来，它就能在有资源评估语句之前，学习预测逻辑语句中的真假模式;(2)学会使用适当的统计摘要来预测真值为伪随机的语句序列;(3)它学会对自己当前的信念有准确的信念，以避免自我参照的标准悖论。例如，如果一个给定的计算机程序只在一定范围内产生输出，逻辑电感器就会及时地了解这一事实;如果π的十进制展开的最后几位很难预测，那么逻辑电感器就会把≈10%的概率赋给“the”nπ的第一个数字是7 "表示大n．逻辑感应者也学会相信他们未来的信念，而不是他们当前的信念，并且他们的信念在极限上是连贯的(无论何时φ→ψ,ℙ_∞（φ)≤ℙ_∞（ψ)等等);而逻辑电感在极限上严格支配全称半测度。

这些属性和许多其他属性都是单一属性的结果逻辑归纳的标准，其动机是一系列股票交易类比。大致说来，每个逻辑句φ与每股价值1美元的股票有关φ是真的，没有别的，我们将逻辑不确定推理者的信念状态解释为一组市场价格，P_n（φ(50%意味着在那天n,股φ可以以50美分的价格从推理者那里购买或出售。逻辑归纳标准(非常粗略地)认为，不应该存在任何具有有限风险容忍度的多项式时间可计算的交易策略，从而在一段时间内在该市场上赚取无限利润。这一标准与支持两种预期效用理论的“没有荷兰书”标准非常相似(Von-Neumann, 1944)¹)和贝叶斯概率论(拉姆齐，1931;²de Finetti 1937^3.）.